以下「特首選舉」故事，純屬虛構，目的只為提出一條概率問題，說明這類問題很容易答錯。
特首選舉有甲、乙、丙三個候選人。人們都知道，中央政府已經暗中「欽點」了他們其中一人，只是不知道那是誰。三人獲欽點的機會均等，各自都是三分之一。
甲有一位朋友丁，是「接近中央政府的可靠消息人士」，知道誰獲得了中央欽點。甲向丁打聽。丁說：「對不起，我向中央政府作了莊嚴承諾，絕不會告訴任何候選人他是否已獲欽點。」
甲說：「你不用透露我是不是獲得欽點的候選人；我只是請你在其他兩個候選人當中，說出一個不獲欽點者的名字：假如乙獲欽點，你就說『丙』；假如丙獲欽點，你就說『乙』；假如獲欽點的是我，即乙、丙兩人都不獲欽點，那就請你在他們兩人中隨意選取一人，說出他的名字。可以嗎？」
丁想了一會，覺得這樣做也沒有違反自己對中央政府的承諾，便回答說：「好吧，我按你的要求告訴你一個名字：丙。」
甲收到這個訊息，心裏十分高興，想道：「現在我知道，丙無論如何是不獲欽點的了；獲得欽點的就是我和乙兩人之中的一人，所以我的機會已由原來的三分之一提高至二分之一！」
甲和乙是好朋友，於是甲第一時間跑去找乙，告訴他這個好消息。甲把他和丁的對話完完整整的給乙複述了，並說：「我和你現在各有一半機會獲得欽點了。」
乙聽了笑而不語，其實他心裏對二人的機會有另一種算法。
乙很有數學頭腦，而且對蒙提霍爾問題的答案十分熟悉。他想：「甲獲欽點的機會本來是三分之一。丁提供的訊息不會改變甲的機會，因為我和丙之間最少有一人不獲欽點，這是早已知道的；該人是我抑或是丙，跟甲獲欽點的機會無關。所以甲的機會和先前沒有分別，依然是三分之一。」
「可是，丁提供的訊息對我卻十分重要。我和丙兩人當中有一人獲欽點的機會，即甲不獲欽點的機會，是三分之二；現在知道丙不獲欽點，原來屬於我和丙兩人合起來的機會，便全歸我了。所以，我的機會已提高至三分之二，比甲高了一倍。」
甲、乙孰對孰錯？
假設某選區裏的選民有三分之一是40歲以下，三分之二是40歲或以上；民意調查顯示，40歲以下的選民有36%支持建制派，64%支持非建制派；40歲或以上的選民，有54%支持建制派，46%支持非建制派。在該選區裏隨意找一個支持建制派的選民，他是40歲以下的機會是多少？
為方便計算，可設選區裏有選民300人(這假設對計算結果沒有影響)，即40歲以下的有100人，其中36%即36人支持建制派；40歲或以上的有200人，其中54%即108人支持建制派。即是說，支持建制派的選民合共有36+108=144人，其中40歲以下的佔了36人，即144的25%。由此可知，任意找一個支持建制派的選民，他是40歲以下的機會是25%。
這類問題叫「條件概率」。一般地，如果事件 A 及事件 B 同時發生的機會是x，而事件 B 發生的機會是 u，那已知事件 B 發生的條件下，事件 A 發生的機會是 x 除以 u。
至於「誰獲欽點」問題，可以用這個辦法去求解。甲獲欽點的機會是三分一；而倘若甲獲欽點，乙、丙二人有相等的機會被丁點名，即機會各為二分一。所以，甲獲欽點且丙被點名的機會是三分一的二分一，即六分一。把這比率叫 x。
乙獲欽點的機會也是三分一；但倘乙獲欽點，丙必被點名，所以乙獲欽點且丙被點名的機會仍是三分一。把這比率叫 y。
丙獲欽點的機會當然也是三分一，而倘若獲欽點的是丙，他就不會被點名，所以丙獲欽點且被點名的機會是0。把這叫 z。
丙在所有情況下被點名的機會就是x + y + z，等如二分一。把這叫 u。
現在已知丙被點名，所以甲獲欽點的機會是 x 除以 u，即三分一；乙獲欽點的機會是 y 除以 u，即三分二。
蒙提霍爾問題也是計算條件概率。把三道門分別叫 A、B 和 C，設遊戲者選擇了 A，然後主持人打開 C，顯示那裏沒有車。A有車的機會是三分一；倘 A 有車，主持人打開 B 或 C 的機會各為一半，所以 A 有車且主持人打開 C 的機會是六分一。倘 B 有車，主持人一定要打開 C，所以 B 有車且主持人打開 C 的機會是三分一。憑以上欽點問題相同的計算，得知 B 有車的機會是 A 的兩倍。
原刊於《AM730》，本社獲授權轉載。
（圖片：亞新社）
