前文提及的 Martin Gardner，是我在學生時代的偶像。他在美國科普月刊 Scientific American 裏的數學遊戲專欄，每期我都不肯錯過。
遊戲中學習
Martin Gardner (1914－2010)是逾百本書的作者，著作範圍包括數學、科學、哲學、宗教和文學，曾經多次獲獎。他又是一位可以登台表演的魔術師。但他最受歡迎的，還是他從1957年到1981年間在 Scientific American 寫的數學遊戲專欄。許多人和我一樣，成為 Scientific American 的忠實讀者，就是為了看 Martin Gardner 的專欄。
Gardner 曾把他的專欄文章編輯成書，書名 Mathematical Carnival，1975年出版。他在該書的引言裏說：「我從來覺得，要喚起學生和大眾對數學的興趣，最好的辦法是寓教學於遊戲，向學生提出引人入勝的玩藝、謎題、戲法、笑話、悖論、模型、歌謠，還有其他許多很好玩的、卻被那些缺乏情趣的老師們視為無聊兒戲而不屑一顧的東西。殊不知正是遊戲的心態使學生專注、認真，在遊戲中漫不經意地吸收了絕不無聊的數學知識。」
兩星期前我在本欄評論香港的數學教學，慨嘆太少教師能夠引起學生對數學的興趣。其後收到一位數學老師來信，反對我指數學教師「未夠熱誠，沒有操練奧數題目」（這並非我的意思），要求我收回「現時中學生沒興趣做數是因數學老師欠缺熱誠」的言論（我從沒這樣說）。我願意向所有覺得被冒犯的老師致歉；不過，如果老師的熱誠不是用來給學生「操練奧數」，而是和學生一起玩數學遊戲，那才值得欣慰。
帽子謎題
在 Martin Gardner 提過的無數謎題當中，我很喜歡這個「帽子謎題」：從前有一個 IQ 很高的國王，有一天他聽說民間有三個智者，IQ 比他更高。國王不服氣，把三人召到跟前，給他們每人頭上戴一頂白色或者藍色的帽子，各人可以看到其他人頭上帽子的顏色，但看不到自己帽子的顏色。國王告訴他們，三人頭上的帽子最少有一頂是藍色的，即藍色帽子的數目可以是1、2或3，但不會是0。他們互相不准談話，誰最先猜中自己頭上帽子的顏色，可得巨獎；要是猜錯了，便要斬頭。
三人各自看看其他兩人的帽子，沒有人立即猜到答案；但過了一會，三人同時開口說：「我知道了！」他們頭上的帽子，藍色和白色各有幾頂？
說起「帽子謎題」，興趣停不了。這裏再提出三題，給大家玩玩。
第一題：仍是三個人，各戴着藍色或白色的帽子。不過這次不是三人都可以互相對望：三人排成一列縱隊，在最後面的一人可以看到前面兩人的帽子，中間的人只看到前面一人的帽子，最前面的人甚麼都看不到。當然，三人都看不到自己的帽子。三人獲告知，他們頭上的帽子最少有一頂是藍色的。
最後面的人和中間的人都沒表示猜到自己帽子的顏色；過了一會，最前面的人說：「我知道我帽子的顏色了！」他的帽子是甚麼顏色呢？
第二題：國王把十個人關在一個囚室裏，每人頭上戴一頂藍色或白色的帽子，每人都可以看到所有其他人的帽子，但看不到自己的帽子。
國王每隔一會便來視察囚室一次。如果他看到囚室裏的所有人戴的都是白帽子，他就立即把所有人都釋放了。如果囚室裏有戴藍帽子的人，國王便叫獄警把門打開，讓猜到自己戴藍帽子的人自由離開，再把門關上，等候國王下次再來。任何戴白帽子的人如果誤猜自己戴着藍帽子而離開囚室，將立即被拉去處決。
國王第五次視察囚室時，便把所有人釋放了，沒有人被處決。那十人戴的帽子，藍色和白色各有幾頂？
即時決定
以上兩題，和第一道題目相似，猜到答案的人都要藉觀察其他人的行為而得到提示，他們要假定所有人都有精明的頭腦，行為完全合乎邏輯。以下這一題有點不同：猜帽子顏色的人不可以從其他人的表現得到提示，但他們可以用另一種方式合作。
第三題：也是十個人，各戴着藍色或白色帽子，每人都看到所有其他人的帽子。這次他們沒有機會觀察別人的反應：他們每人都拿着一枝筆和一張紙條，環顧了其他人的帽子顏色後，便立即要猜答案。每個人在自己的紙條上寫下「藍」或「白」，交給國王，任何人不得偷看別人寫甚麼。國王點算有多少張寫着「藍」的紙條，如果數目正好是戴着藍色帽子的人數，十人全部獲釋；數目不對，全部處決。
眾人戴上帽子之後，當然不准互相溝通。但在戴帽之前，他們可以商定猜謎策略。他們應採取甚麼策略，保證一定獲釋？
原刊於《am730》，獲作者授權轉載。
（封面圖片：Pixabay）
