多年來,每當我告訴別人我是數學家時,都能預見對方會出現的反應。他們通常會變得十分緊張,慢慢和我拉開距離,然後躲到房間的另一端。人們通常會理直氣壯承認:「我在學校時,數學一直都學不好。」語氣中還能感覺到他們以此為傲。
但最近這種狀況開始轉變了。圖靈(Alan Turing)成為最新50英鎊紙鈔上的人物;奧斯卡獎提名了《魔球》、《關鍵少數》和《心靈捕手》等電影;突破獎頒獎典禮上,可以看到好萊塢明星在電視直播中,頒發數百萬美元獎金給數學家。我敢自信滿滿的告訴大家,數學已經酷起來了。
數字無所不在
數學愈來愈受大家重視的另一個重要原因,則是新冠肺炎疫情。突然間,數字變得無所不在。最近就連卡戴珊的Instagram貼文這類社群媒體,都能看到視覺化資料。人們開始廣泛使用「指數」和「信賴區間」等詞彙。以上種種,讓我覺得,了解數字能發現趨勢、並且做出預測,並不是什麼可恥的事。
疫情期間,我使用@BristOliver的推特帳號,以數學家的角度,發表對新冠肺炎統計數據的解讀,盡可能幫助人們了解現在的狀況,並且讓氾濫的數字變得更容易理解。在這個過程中,我不斷感受到,原來我在英格蘭布里斯托大學傳授給大學生的數學技巧,無論對任何人來說,都價值連城。
我們的生活已經逐漸受到資料和演算法支配。Siri完全可以聽懂我們說的話;使用Google翻譯也能得到接近專業水準的譯文;Netflix能夠將我們的觀看紀錄,與類似的使用者資料比對,藉此推薦我們最可能喜愛的同類型影劇。
縱使如此,人們可能不清楚這類人工智慧和機器學習,實際上都是建立在數學和統計學的基礎上。人工智慧和機器學習在21世紀有了全新面貌,不斷提升的算力也提供了極大動能,但背後的基礎始終離不開數學。這樣的矽谷奇蹟依仗的是:在百萬維度世界中的點雲(空間中的一組離散的數據點)幾何形狀、在隨機中找出結構和模式的技術,以及處理大量數據的嚴謹數學方法等等概念。
大部分人都不清楚專業數學家整天在忙什麼,也許他們會認為我們在計算複雜的微積分,或者互相較勁誰能記住最多圓周率的位數;也許他們腦海中會浮現出一個不起眼的老頭,拿着粉筆在黑板上書寫充斥着希臘字母而難以理解的公式(老實說,這個猜測算是十分接近)。人們會這樣看待數學家,我們也要負起部分責任。數學家並沒有盡心盡力向大家解釋,為什麼我們所做的事如此重要。
這本書試圖翻轉這些偏見。現代世界人人皆有手機、平板或電腦,透過這些裝置,我們能比以往更快速接收瞬息萬變的世界的巨量資訊。因此我認為,現今日常生活中,早已離不開無窮無盡的數字,而我們也需要了解數字背後的事實。我相信數學提供了一種思考世界的方法,能讓人們了解氾濫的資料和複雜狀況,並且避免受到錯誤資訊與錯誤解讀的誤導。我想傳授讀者一些數學技巧,幫助大家透過數學家的觀點,了解這個世界。推特(現為X平台)非常適合用來傳遞簡短且即時的資訊,但無法讓我這個數學家以喜愛的方式呈現想法。我試着用這本書,寫出我的想法,並且解釋為什麼數學家會如此思考事物。
數學模型以簡馭繁
一切的核心都來自於數學模型的概念。某種角度來說,我們心中都存在事物運作的原理模型。例如,我們都十分清楚物體會因為地心引力而落到地上。但如果不是牛頓一步步推導,將這個想法轉化為數學公式,我們並無法真正理解上述現象的物理原理。
模型應當要有兩種功能:首先要能解釋我們手上的資料,再者要能預測尚未遭逢的狀況,理想上還須包含這些預測的準確度的嚴謹校正。數學家通常會找出數字或資料的模式,並且提出可能足以解釋這些模式的理論。例如,借助牛頓公式的計算結果,在岩士唐還未乘坐阿波羅11號登陸月球時,我們就已經十分清楚月球的重力大小。要是沒有這些公式,美國航太總署還不知道能否建造出可發射到月球的火箭呢。
奇怪的是,良好的模型並不一定要完全正確。統計學家博克斯有句名言提到:「所有模型都是錯的,但有些模型十分實用。」愛因斯坦的相對論研究成果告訴我們,牛頓公式並非完美無缺,例如,牛頓公式無法解決物體以接近光速移動時所出現的問題。但是在17世紀,人們還在乘坐馬車和帆船旅行,牛頓公式已經足夠準確,能夠有效預測日常生活中的物體行為。即使到了今天,速度最快的火箭也遠不及光速,因此從務實的觀點來看,完全符合阿波羅8號太空人安德斯說過的名言:「太空船怎麼飛,牛頓說了算。」
疫情模型也是類似狀況,雖然那些描繪新冠肺炎傳播狀況的數學模型過於簡單,忽略了真實世界的某些影響因素,但如果模型足以產出可靠的短中期預測,就很可能已足以實際應用。
相關概念就是所謂的「玩具模型」。玩具模型意指完全抽象、且與真實世界差異甚大的模型,但卻足以顯現出真實世界的某些性質。大家可能聽過一則聲名狼藉的杜撰故事。有人拜託一名數學家提供乳牛農場設計建議,數學家給出的模型寫到:「考慮一隻完美球形光滑無摩擦力的乳牛,在零重力的空間中……」
儘管如此,精心挑選的玩具模型,確實能夠在思考真實世界時,派上用場。譬如,我花了不少時間思考,如何利用逐步給予每人一頂能立即阻擋病毒的帽子的假想情境,找出資料中呈現的新冠肺炎疫苗效果。(第3章在對數刻度圖上繪製資料數據時,就能看到明顯效果。對數刻度圖上,會看到一條逐漸變得陡峭的曲線。英國2021年春季的新冠肺炎死亡人數資料,也能看到相同效果。雖然模型的假設無疑過於簡單,但是仍提供了一個發現疫苗效果的方法。)如果我們能將真實現象的關鍵要素,抽象化之後,放進這類簡單模型中,然後利用模型得出洞見,這些洞見就能夠帶回日常生活中應用。當然,我們仍須注意玩具模型的有效程度。
市面上已經有許多推廣數學的好書,但往往將焦點放在怪誕或奇特的主題,例如,索托伊的《尋找月光》和賽門.辛的《費瑪最後定理》,或者關注數學與物理之間的關係,例如,法米羅的《宇宙用數字說話》。
大多數人往往會將數學簡單理解為解謎或玩弄數字的遊戲,這是數學家兼喜劇演員帕克最擅長的伎倆。數學確實可以非常好玩,而數學遊戲也是吸引人們學習數學的絕佳方法。但我認為大家同時也要知道,數學十分重要,數學是推動現代世界發展不可或缺的一環。數學是理性解釋事物的實用工具,我會在書中幫助大家了解數學如何做到這一點。
原刊於《社會菁英必備的數學素養》,本社獲天下文化授權轉載。
新書簡介:
書名:《社會菁英必備的數學素養:用數學思維看世界》(Numbercrunch: A Mathematician’s Toolkit for Making Sense of Your World)
作者:奧利弗.強森(Oliver Johnson)
出版社:天下文化
出版日期:2023年11月
!doctype>作者簡介:
英國布里斯托大學(University of Bristol)資訊理論教授、數學學院統計科學研究所所長。曾任劍橋大學研究員和劍橋大學基督學院研究員。常擔任BBC廣播4台節目來賓,並為《旁觀者》雜誌撰稿。《泰唔士報》、《衛報》、《每日電訊報》、《紐約時報》都曾引用過他的文章。X帳號是@BristOliver,時常推文發表有關數學、音樂和阿斯頓維拉(Aston Villa)足球俱樂部的文章。現居於英國布里斯托市。