承接上文：〈學習數學過程中的學習心態引導與學習策略──在學習數學過程中怎樣讓學生發展適當的心態面對失敗的困惑（二之一）〉
筆者最近和朋友嘗試改善十多名中一學生的數學表現。行動之前，本文和上一篇文章整理了數學學習中的八個關鍵問題：
1. 怎樣看待數學科的學習？
2. 學生在學習數學科時，我們應該關心些什麼？
3. 怎樣去面對錯誤／失敗？
4. 成長心態有什麼作用？
5. 可以改變些什麼學習策略？
6. 怎樣去評估學生的學習效果？
7. 怎樣讓學生更公平地學習？
8. 哪些是學習數學的一般原則？
上文展示了前五方面內容，本文將續談其後三方面的內容。
引導學生探索 拓寬解題思路
一個研究比較三種數學教學的方法：第一，教師告訴學生們處理的方法，學生便以這種方法去解決問題；第二，學生們自行通過探究去找出解決問題的方法；第三，教師提供學生一個實際要解決的問題，學生嘗試去解決，然後提供解決的方法。研究結果顯示，在第三種教學方法下學生的成績最好。
研究員發現：當學生面對一個具體要處理的問題，而不知道用什麼方法去解決時，他們對於探索這個問題會非常之好奇。這時，如果教師教導他們處理的方法，他們的腦袋便會更加好奇，更專注去學習新的方法。研究總結：最佳學習方法的時間，是學生們動腦筋去處理實際和具體問題的時候。
讓學生直覺地去思考數學問題，會令他們的學習更深入和更有意義：第一，他們停止用較狹窄的、單一的角度去思考數學問題；第二，他們會嘗試用自己的方法去思考和建立意義；第三，他們會更專注和投入於用新的方法去處理問題。
數學的不同課題應該是互相有關連的，不是孤立的、片面的學習。
6.怎樣去評估學生的學習效果？
Elawar & Corno（1985）為六年班的數學科做了一個實驗。他把學生分為兩組，一組在測試後給予等級，另外一組則給予「診斷式」的評語。結果，後者較前者的學習速度快一倍，男生和女生沒有出現學習差異，而且學生的學習態度有所改進。
後來，有人在另一個同性質的實驗中加多一組，該組同時獲得診斷式評語和分數等級。結果，該組的成績和只獲得等級的一組差不多。
2010年，一套名叫《力爭碰壁》（Race to Nowhere）」的電影在美國上映，內容顯示美國學校對數學科的測試和家課大多給予等級，結果對美國學生的健康和幸福感產生極壞的影響。
〈紐約時報〉認為這是一套必定要看的電影。這套電影突出學習數學科是學生壓力和憂慮的主要來源，當中記錄了一個高中女學生學習數學科的痛苦經歷。她在數學科上的學習本來是不錯的，不過有一天她不合格了，結果走上輕生的道路。
對很多學生（特別是這個學生）來說，一個成績等級並未告之他們個人學習表現的具體情況。其實，他們需要的，是有助他們改進學習的信息。成績等級只能讓學生感受到，自己是否一個好的學生。結果，這個學生知道的是，自己是一個不及格的學生。她的自我觀受到極大的打擊，促使她去自殺。
讓等級傳遞正面成長信息
就算是在必定需要給予等級的要求下，下列的建議仍然可以讓評估傳遞正面成長的信息：
（1）讓學生有機會再提交習作和再次進行測試，以改善他們的等級。期望這樣處理能夠傳遞一個成長心態的信息，表示我們關心的不是表現，而是學習。
有人覺得這種做法不公平，但我們卻希望肯定學生的努力，而最重要的是藉以令他們關心學習。
（2）學生的等級只讓學校行政人員知道，學生收到的是診斷性的回饋。
（3）給學生以多維度的等級作評估，注重學生在數學學習方面的表現而不是測試的成績。重點是，他們有否問問題、有沒有從不同的角度去學習數學、有沒有理據去確定自己的判斷，或者以其他同學的思考去作出結論。以這樣的方式去評估，能讓更多學生變得成功。
（4）不再用100分制去作出評估。
評估最重要的是提供學生學習的信息，而不是評核他們的表現。這樣，學生會獲得成長心態的信息。評估的功能由獲得等級轉變為促進學習，為學生在學習的過程中帶來非常正面的影響。
7.怎樣讓學生更公平地學習？
由根據成績分班，到根據成長心態分班。要達到上述境界，必須要依照下列四個複雜教學的原則去處理：（1）多維度的學習；（2）角色；（3）適當的讚賞；（4）有責任去協助他人學習。
（1）多維度的學習
在一個多維度學習的數學課室內，除了計算之外，學生要有機會提出好的問題，提出新穎的意念，把不同的方法連結起來，嘗試用不同的表達方式，通過不同的途徑去理解不同的數學思考方法。沒有人能夠在上述各方面都表現優異，但每一個人都至少具備上述其中一項特長。
當我們詢問，學生成功學習數學科最重要的條件是什麼？採用傳統學習方式的學生，有97%的回應是：專心學習。這種被動學習的學生，成績通常並不優異。而成績優異學生的答案是：提出好的問題、用不同的方法去表達問題、能夠解釋問題、用邏輯去思考、能夠用適當的方法去解決問題、聯結不同的意念，以及幫助他人。
學生能夠投入於學習是基於多個因素：
- 教師小心設計真實和具體的問題，向學生提出不同的問題；
- 課業的設計提供充分的空間，讓不同能力的學生可以有各自的貢獻；
- 多維度的課堂，用不同的方法處理數學問題，例如問問題、繪畫圖表、嘗試作出推測等；
- 處理世界真實的問題和意念；
- 同學之間通過高水平的溝通和多元的提問，學習到怎樣去幫助其他人。
（2）角色
在小組內每個組員都有機會扮演不同角色。
（3）適當的讚賞
對於一些被動、內向、成績較為低落的學生，需要公開地、具知識的、和特別針對地表達讚賞，以提升他們的學習動機和投入程度。
（4）教導學生協助其他人的學習
在小組學習剛開始時，要求學生一起討論小組學習過程中，他們喜歡和討厭別人哪一些行為，然後把他們的結論寫出來，貼在課室的牆壁上。結果，他們在小組討論的過程中較為考慮到別人的感受，較為遵守大家一起建立的規範。他們會較為考慮到多元處理問題的方式，珍惜不同方法去看待和理解數學。
8.哪些是學習數學的一般原則？
學習數學需要鼓勵的正面規範：
（1）每個人都可以學習到最高水平的數學；
（2）錯誤的經驗是寶貴的；
（3）提出問題是非常重要的；
（4）數學是和創意與及理解有關，使人想像到模式，創造解決問題的途徑，並且基於這樣，使人可以感覺、討論和批評；
（5）數學是和連接與及溝通有關；
（6）學習的深度比速度更重要；
（7）上數學課是有關學習，不是表演。
小結
正如上文所言，「成長心態」除了需要不斷努力、應用不同策略去面對失敗，還要澄清目標、不斷接受適當回饋。
高成就的人經常失敗，但卻努力工作。我們應該珍惜堅持和努力思考。當一個學生經歷失敗或在掙扎的過程中，並不代表他們的數學潛質低下；這不過是表示他們的腦袋正在成長，腦細胞處在非常活躍的狀態，解決問題的新方法正在發展中。這樣，他們會發展出更堅強的未來。
注釋：
本文主要參考了Boaler, Jo, (2016) Mathematical Mindsets: Unleashing Students’ potential through creative Math inspiring messages and innovative teaching. Jossey-Bass.
在學習數學過程中怎樣讓學生發展適當的心態面對失敗的困惑 二之二
