雞兔同籠

籠子裏有若干數目的雞和兔子,共有35個頭,以及94隻腳,問雞、兔各多少?

小學算術課遇上的雞兔同籠問題,在《孫子算經》有所記載:「今有雉(雞)、兔同籠,上有三十五頭,下九十四足。問雉、兔各幾何?」

在命題中,籠子裏有若干數目的雞和兔子,共有35個頭,以及94隻腳,問雞、兔各多少?

數學是透過抽象化和邏輯推理的使用,由計數、計算、量度和對實質客觀情況的觀察而拓展某些猜想,從而建立起嚴謹推導出的定理。

就當前面對的課題,假設籠子裏全部都是雞, 那麼就有70隻腳,比命題中的數目少了24,考慮到每隻兔比每隻雞多了兩隻腳,所以兔的數目自然是12隻。

用另外一個方法推算,假設籠子裏全部都是兔,那麼就共有140隻腳,比命題中的數目多了46隻,因為每隻雞比每隻兔少了兩隻腳,所以雞的數目自然是23隻。

這個簡單的命題只有兩個未知數,所以破解方法是比較簡單直接。但面對更加複雜的問題時同一良方都管用,就是大膽假設,思量是否有足夠線索踏進破解問題新境界,同時利用邏輯察看假設條件與實際情況的差別,修正原先的假設條件,重新上路直至真相大白。

上文的例子作出兩種不同的假設,而我們得到的答案各有不同,一個提供了雞的數目,另一個則兔的數目。其實兩者都是完整答案的一部分,異途同歸。

靈光一現快速解決問題的例子?

在現實生活中我們面對的問題通常有較多的不確定因素,所作出的初步假設,未必準確到位,需要調教聚焦,拉近假設與實際情況的差異,因而需要一段比較長的時間才能夠達致事實的真相。這是一個冗長及重複又重複的迴旋過程。時間的重要性不言而喻。那麽是否有靈光一現快速解決問題的例子?

相傳古希臘數學家阿基米德(Archimedes)在木桶沐浴之際,頓悟出物體的浮力是等於所排同體積水的重量,他對發現感到非常興奮,以致於他忘了穿衣服後赤身裸體地走上街頭大叫「尤里卡!」 意思是我已經找到它了!

除卻上述神來之筆的例子,任何一個探究過程之中,往往都是前路茫茫,不免遇上不少冤枉路,但要堅持向前進,走路是人行出來的,一步一腳印,經驗是從失敗中積聚而來。處理複雜及敏感的問題時,困難是漫無頭緒,不知何從開始,況且又需時了解狀況。就以最新疫情為例,社交媒體上充斥不少事後孔明式的批評,但這罔顧大家於疫情初期對問題缺乏認識的事實。直至今天,科學家都仍然根據實際病例修正對問題的解讀及看法。最佳的對應方法就是作最壞的打算,在現實可行的有限取項的情況下,盡力而為。隨着積聚的經驗,修正及加大經驗證的正確途徑。

原刊於《am730》,本社獲作者授權轉載。

孫明揚