為了讓學生投入學習，有時在數學課中，處理同一作業題時，老師會請幾位同學分別在黑板列出不同的數式和計算方法，然後請同學核對步驟和答案的正誤。至於學生怎樣理解問題，如何構想處理的方法，和對自己做法的檢討，就很難有機會在課堂展示了。於是很多課堂上的對話，都局限在一些預期的套路，偶然遇到另類答案和想法，也沒有時間和空間去討論。
即使有時間討論，由於數式和計算步驟已經是一些學習成果，很難再追溯學生的想法是怎樣形成的。所以有一種做法是在學生開始解題時，就讓他們畫出自己的想法來，讓他們用圖像或用日常語言去展示腦海中的思考過程，而不是即時從文字或數式題目，跨過思考過程，但求學生熟識套路，直接跳到數式和計算結果，核對答案。
之前寫了四篇「畫出你的數學來」（註1），關於八鄉中心小學的兩位老師，安排了八節課，用故事說出有關分數的文字題，請小五和小六的同學，在寫出數式和計算之前，先用圖像展現他們怎樣理解故事中有關分數的情境，下一步才寫出數式和計算。結果，學生們都高高興興地用五花八門的圖畫表現自己的理解能力，也給老師帶來好一些驚喜。
用畫圖打開數學的話匣子
以往要求學生一開始就用數式去翻譯文字題的情境，總會有不少學生交白卷或亂寫一些數式來敷衍。但是，要求他們畫圖表達，就全部人都可以參與。學生打從一開始拿到彩筆，就會滿有信心地塗畫。結果也顯示原來他們都明白文字內容的意思，只是走到應用數式或計算途中，有人思路接駁不上而已。
所以，在「畫出想法來」的課堂，有一些非常重要的環節，是讓學生們哇啦哇啦地說個不停，和同學或老師之間對話，可以讓學生放聲思考，打通自己的思路。
這些環節讓課堂變得鬧哄哄，老師大概順序安排如下：
- 學生畫圖後，要和鄰座同學互相解說為什麼會這樣畫，
- 列出數式後，找不同畫法或做法的同學，互相說明圖像和數式的關係，
- 期間，老師巡視學生的作品，遇見獨特（而不論對錯）的表現，可以和學生對談，聽他們怎樣講自己的想法，
- 老師遇到停滯了的學生，會傾談一下，稍加協助，鼓勵學生放膽嘗試，
- 全班完成畫圖後和列寫數式後，老師都會邀請學生向全班同學展示自己的作品和解說，同學可以提問，討論和比較不同的做法，有時原作者未能清楚說明以至同學誤解，會有明白了的同學幫助辨解。
課堂內的對話，有時同學之間的對話會比師生之間進行得更好。因為老師腦中已有慣用的答案，而學生的構想有時只是稍具雛形，甚至是凌亂，所以有些老師聽到這些另類說法，可能轉不過彎來，未能試用新的角度去接收。若要學生樂於使用放聲思考的學習方法，首要老師用心聆聽和耐性引導。
真誠地發聲，細心地聆聽
就如上一篇寫過的例子（註2），老師提出的文字題是「一班40位同學，其中3／8的人得獎，問有幾多位同學獲獎呢？」學生Mike在解說問題時，把40人誤作80人處理，發現錯處後，就以40作為80的半數來思考，把做法矯正過來。後來更洋洋自得地搶着向全班展示和解說。
Mike的解說，有兩點令人出乎意料。最初也令老師摸不着頭腦。
第一點：有別於一般學生急於掩蓋或塗掉錯誤部分的習慣，Mike把他錯誤的原作，毫不掩飾地暴露在全班同學面前。（見圖1.1）
第二點，Mike沒有單刀直入說出正解，他解說的重點是怎樣把錯誤轉化為正解的思考過程：「如果是80人時，每一格有10人，40是80的一半，每一格有5人，……。」（見圖1.2）
當老師預期學生直接說出正解時，首先看到是錯的做法，難免未能適應過來。於是，迷茫的老師抓抓頭，坦誠地回應：「我不明白為什麼是80人，突然又可以變為40人呢？！」
後來老師細心一想，才記起Mike開始時用了「如果」兩個字，所以Mike所用的80只是一個假設的數據，真正的是40。而Mike隨着80這個假設數據開始的一切運作是正確的，他只需要把所有數字減半便成了正解。老師想通後，幫忙把Mike的解說稍為重整一下，確認了他的處理方法。
如果老師沒有認真的聆聽，很容易便會錯失了學生解說中的重點，把學生獨特的思考方法輕易誤判為雜亂無章了。
謙虛地融合
另一方面，安排時間給學生對話或當小老師，除了讓他們有機會表現自己，原來當聆聽者的同學也真的有在消化別人的思考，融合為自己的知識。以下是一個令人讚嘆的例子。
Fanny在解答「一班40位同學，其中3／8的人得獎，問有幾多位同學獲獎呢？」這個問題時，她用的是畫圖法（見圖2.1）。她畫的比Mike仔細，具體用40個小圈代表40人，這樣當然會比較花時間，如果稍進一步抽象化，就可以像Mike那樣，用長條或格子代表10人或5人。
除了以上自己的解法之外，Fanny還欣賞到鄰座Jojo有別於自己的做法，以至在自己的畫作旁，加入了Jojo的的列式計算表達法，更標籤了原作者Jojo的名字（見2.2）。
最後，從Mike的解說中，你猜猜Fanny又吸收了什麼新東西？原來當老師努力拆解Mike到底在說些什麼時，Fanny已經吸納了用每一長條代表10人的做法，加在自己畫作之下，再標明這麼做法是源自Mike的。（見圖2.3）
Fanny的學習態度實在是非常謙虛，她能夠在其他同學的作品中，找出獨特的東西，消化融合成為自己的知識和技能。由此可見她的學習不限於老師和課本，而是從任何人或事都可以有所得益。
當然，像文中所寫這樣充滿真對話的學習群體，不是從開始就達到文章所展示的教學效果，這是經過全校師生努力建立起來的（註3）。開始時總會混亂和嘈雜，但是只要能夠達到讓學生自主學習、樂於學習而又學得到的目標，實在值得一試。如果你不想再把學生埋在操練中，而又事倍功半，甚至是徒勞無功的困局，這更是一個好選擇。
註1： 文章「畫出你的數學來」之一至之四。
註2：上一篇〈數衷情：錯中有思考〉。
註3：力推正向教育的八鄉中心學校，透過課程和活動，提供很多機會讓學生學習表達和聆聽的溝通能力，即使在數學課也如是。就像在合適的土壤上栽種，老師用心設計和推行「畫出想法來」的課節，給老師和學生都帶來寶貴的學習經歷。
畫出你的數學來之五
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