數學是什麼？

自然之書是用數學語言寫成的。──克卜勒（Johannes Kepler, 1571-1630），天文學家

科學的皇后

數學是科學的皇后，而算術是數學的皇后。──高斯（Carl Friedrich Gauss, 1777-1855），數學家

在小學二年級的課裏，我想要解釋數的重要性，就給小朋友講個故事，述說有位國王非常痛恨數字，甚至禁止在王國裏使用數字。我和小朋友一起努力想像沒有數字的世界會怎樣，結果發現生活會非常受限制。因為不准提兒童的年齡，所以各種年齡的兒童一律歸到同個年級。此外，你無法付錢買菜，也無法安排約會，因為你不准提在幾點或幾分。

這只是舉例說明數學在我們生活裏的重要性。隨着文明與技術的進步，我們的生活愈來愈需要倚賴數學。諾貝爾物理獎得主溫柏格（Steven Weinberg）在他寫的《終極理論之夢》（Dreams of a Final Theory）書中，專門花了兩章討論物理以外的題材，一章是數學，一章是哲學。在書中他說，他一再出乎意料的發現，數學多麼有用，而哲學多麼白費氣力。

美國物理學家溫柏格於1979年獲諾貝爾物理學獎。（Wikipedia Commons）

要理解為什麼會這樣，必須理解數學是什麼，這可不是簡單的問題，就連專業數學家也難以回答。羅素（Bertrand Russell）曾經說數學家「都不懂自己在搞什麼。」（他對哲學家的批評更嚴苛，在他的眼裏，哲學家「只是瞎子在暗室裏尋找根本不存在的黑貓。」）他的說法在某種意義上確實為真：就是絕大多數的數學家都懶得自問數學是什麼，確切一點的說，沒想解釋他們到底在忙什麼。

想要回答這個問題，我們先從一個簡單的例子來看：3 + 2 = 5的意義是什麼？

在一年級班上，我請小朋友檢查3枝鉛筆加2枝鉛筆，結果有多少枝鉛筆。他們懂得「加」的意思就是「放在一起」，因此他們把3枝鉛筆與2枝鉛筆放在一起，然後再數有多少：答案是5枝鉛筆。接着我問：「當你把3枚鈕釦加2枚鈕釦，會得到多少鈕釦？」他們毫不猶豫的回答：「5枚鈕釦。」我再追問：「你們怎麼知道？」「由前一個問題就知道啦！」「但是前一個問題是關於鉛筆，也許會跟鈕釦不一樣啊？」他們就都笑了。這個問題並不是毫無意義的，恰恰相反，它隱含了數學的秘密──抽象。問題裏的東西是鉛筆、鈕釦，還是蘋果，都沒有關係，答案都相同，這也是我們可以抽象的說出3 + 2 = 5的理由。

加法運算題裏，即使物件轉換了，如果加數和被加數的數量不變，孩子也能正確回答。（天下文化）

這是基本但具代表性的例子：數學是從思想過程中精煉出來的。很顯然，思想或多或少都是抽象的，然而數學的獨特性在於它把最基本的思想過程抽取出來。在3 + 2 = 5的例子裏，涉及的過程是把東西放一起：3個東西與2個東西。對於這些東西可以問很多問題：是鉛筆還是蘋果？在你手裏還是在桌子上？如果在桌子上，那麼是如何擺放的？數學忽略掉所有這些細節，它要問的問題與這些細節無關，僅僅關於東西放在一起的事實：最終的數量是多少，也就是總共有多少東西？

人類能宰制環境的秘密就在於具有抽象思維，抽象的威力幫助我們有效率的活在世上，換句話說，就是可以省點力氣。抽象能幫助我們跨越「此時此地」的局限──此時此地發現的東西，也可以在別的時間與地點使用。如果3枝鉛筆加2枝鉛筆等於5枝鉛筆，那麼蘋果也該這麼加，明天來算也一樣。花一次氣力就能提供整個世界相通的道理。

如果一般而論抽象有用，那麼數學會更有用，因為數學把抽象做到極致。於是乎，數學如此有用又切合實際，就不令人吃驚了。

每個人都該學數學嗎？

別人在知道我是數學家時，常常會露出一絲苦澀的微笑說：「數學不曾是我的強項。」正因為太多人學習數學的經驗是那麼倍感煎熬，所以每個世代都會問同樣的問題──學數學所為何來？為什麼有必要接受這種折磨？大多數的人是不是應該乾脆放棄學習數學？今日的計算機可以即刻算出各種數學運算結果，學習乘法表或長除法還有什麼意義？

有一個答案是，眾多職業都需要用到精確科學的知識，而數學是開啟這些知識的鑰匙。其實數學很重要，並不只是因為要用它來理解實存世界，而是數學能提供更多東西──它教導用精準有序的方式進行抽象思維。它能改善基本的思想習慣，例如區分本質性與非本質性的能力，以及得出邏輯結論的能力。這些能力都是學校教育所提供最有價值的資產。

然而還有一個問題沒有回答──為什麼學數學會那麼困難？數學注定要讓人受苦嗎？現在流行的答案是「並非如此」──問題出在教學上。一般的見解是認為，很多遭遇「學習障礙」的孩童，其實是遭遇「教學障礙」，但是問題不可能那麼單純，只是責備教師有點太簡化問題，而且也不合理。任何主張千百年來數學教師都教得一塌糊塗的人，必須為此提出解釋，同時說明為什麼別的科目不會如此。

數學教學的特殊問題在於傳達抽象觀念很困難；你能告訴別人智利首都的名字，卻不能幫人們進行抽象化。這是每個人必須親自完成的過程，每個人必須走過從具體到抽象的每一個心理步驟，在這個過程中，教師的角色在於引導學生按照正確順序，逐步完成體驗原理的經歷。這不是容易學的簡單技藝，然而也不是全無可能學會。本書的目標之一，就是模仿蘇格拉底所謂的「接生婆教學法」，逐步介紹一些可用的原則。