遨遊星空，探索浩瀚宇宙

宇宙的大小與尺度

我們從恆星開始談起，然後再擴展到星系、宇宙，以及宇宙之外。還記得在《玩具總動員》（Toy Story，港譯《反斗奇兵》）電影裡，巴斯光年是怎麼說的嗎？

「飛向宇宙，浩瀚無垠！」

宇宙真的是浩瀚無垠。首先，我要介紹宇宙的大小和尺度，它真的遠比你想像的還要大。宇宙比你想像的要來得更熱、更緻密，矛盾的是，宇宙也比你想像的更為稀疏。簡單的說，宇宙實際上比你想得到的要怪異多了。不過在我們啟程之前，讓我們先把工具準備好。

從1到巨大的數

我們先來一趟小數字與大數字之旅，熟悉一下詞彙，以及宇宙中各種事物的大小。讓我從數字1說起；你看過這個數字，而且裡頭沒有0。不過，如果我們把它寫成指數記號，就可以表示成10的0次方；因為1的右方沒有0，所以它的次方是0。想當然耳，10可以寫成10的1次方；1,000則是10的3次方。

記得公制裡代表1,000的英文字首kilo-嗎？kilogram是指1,000公克；kilometer是指1,000公尺。接着，把1,000再添三個0就成了100萬（10的6次方），它的代表字首是mega-。或許在發明擴音器（megaphone）的年代，他們會數的最大數字是100萬吧。如果當時他們知道再往後頭添三個0就是10億（10的9次方），那麼擴音器的英文也許就會是gigaphone。此外，如果你研究過電腦裡的檔案大小，或許對megabyte和gigabyte這兩個詞也不陌生，gigabyte是指10億位元組。不過，你可能還不明白10億到底是多大的數字。讓我們看看這個世界，然後想想有什麼東西需要用10億來計量。

首先，全世界現在有70億人口。

那麼比爾‧蓋茲有多少錢呢？我上次查的時候，他的財富已經累積到800億美元。他是科技怪傑的典範，而在人類歷史上，科技怪傑首次掌控了這個世界。在人類歷史上，這是前所未見的，時代是真的不同囉。至於你會在何處見到1,000億呢？說真格的，還沒到1,000億啦。麥當勞宣稱「我們賣出了超過990億個漢堡」，這是你在街頭能見到的最大數字。我記得童年時麥當勞開始計數的年代，我小時候麥當勞很神氣的公告「我們賣出超過80億個漢堡」。麥當勞的告示牌上永遠不會出現1,000億，因為他們是在10億（billion）之前加兩個數字欄位來顯示賣出多少個漢堡，所以數字最多只能來到「99」個10億（就是990億）。不過，他們現在用天文學家薩根（Carl Sagan）的話，誇張對著我們說「賣出億萬又億萬的漢堡」。

拿1,000億個漢堡來，把它們平放，一個接着一個，從紐約市開始往西排，能到得了芝加哥嗎？沒問題。到得了加州嗎？當然可以。如果它們能浮在水面上的話，以直徑10公分的圓麵包來說（漢堡的直徑略稍微小於這樣的圓麵包），我的計算指出，這些漢堡會繼續橫過大海，沿地球的大圓航路穿過太平洋、澳洲、非洲，然後經過大西洋，最後再回到紐約市。把1,000億個漢堡沿著地球的圓周排列，你已用掉了不少，不過也剩下不少。你打算怎麼處理剩下的漢堡呢？你可以再來215趟相同的旅程！不過，仍然有不少剩下來。現在你對繞着地球打轉沒興趣了，你還能做什麼呢？把它們疊起來。也就是說，在繞地球216圈之後，你把剩下的漢堡疊起來，能疊多高呢？你搆得着月亮，然後再回來。所以說，你把漢堡平放繞地球216圈之後，又把每個厚度5公分的漢堡堆疊到月亮的高度再回來，終於把1,000億個漢堡用完了。這也正是牛為何這麼怕麥當勞的原因了。相較之下，銀河系大約有3千億顆恆星，所以麥當勞快追上宇宙了。

在你年紀到達31歲7個月9小時4分20秒時，已經活了10億秒。我到達那個年歲時，開了一小瓶香檳來慶祝，因為我們並非那麼常遇到10億這個數字。

讓我們繼續下去。接下來的是什麼呢？1兆（1萬億，10的12次方）；它的公制字首是tera-。1兆是沒法數的，但你當然可以試。如果你每秒數一個數字，數到1兆會用掉的時間是31年的1,000倍，也是說是31,000年。這也是為什麼縱然你在家裡閒得發慌，我也不建議你去數到1兆的原因。在1兆秒之前，當時穴居的原始人還正在他們起居室的牆壁上畫圖。

在紐約市的羅斯地球與太空中心，我們用螺旋坡道來展示以大霹靂（也稱為大爆炸）為起點的宇宙時間線，呈現宇宙138億年以來的歷史。如果把整座坡道展開來，長度和一座美式足球場（約100公尺）差不多，所以你的每一步就跨過了5,000萬年。當你沿着斜坡走到頂部時，也許會問：「我們在那裡？」「我們人類的歷史描繪在何處？」從1兆秒前到今日，從愛四處塗鴉的穴居人到現在，這整段時間只佔了一根髮絲寬度的跨幅，而我們也真的在時間線的頂端放了一根頭髮。你認為我們的生命夠長，你認為我們的文明也持續了很久的時間，但是以宇宙的觀點來看並非如此。

接着呢？接下來是帶著公制字首peta-的1千兆（10的15次方）。這是我最愛的數字之一。根據螞蟻專家威爾森（E. O. Wilson）所說，地球表面和地底大約住了1千兆到1萬兆隻螞蟻。

有些活在這個世上的人，仍然堅持人類是宇宙中獨一無二的，因為他們對大數一點概念也沒有，對宇宙的大小也毫無所知。（Pixabay）

接下來呢？1百京（10的18次方），它的公制字首是exa-。十座大型沙灘的沙粒顆數合起來大約就是這麼多。位在里約熱內盧，世界上最著名的科帕卡巴納海灘，以前的長度是4.2公里，寬55公尺。後來他們運來了350萬立方公尺的沙，把沙灘加寬到140公尺。科帕卡巴納海灘表面的中型沙粒大小約為1/3毫米（公釐）寬，每1立方毫米有27顆沙粒，所以350萬立方公尺的這種沙粒，數量大約是10的17次方那麼多顆，幾乎是科帕卡巴納海灘目前的沙粒總數。因此像科帕卡巴納海灘這樣的沙灘，十座合起來就有10的18次方那麼多顆沙粒。

如果再增加1,000倍，數字就來到了10的21次方（10垓）。我們已經從公里談到擴音器，然後到麥當勞的漢堡，再到克羅馬儂人藝術家，接着到螞蟻、海灘上的沙粒，最後來到10個10垓──可觀測宇宙中的恆星數量。

部分人無大數概念

目前有些活在這個世上的人，仍然堅持人類是宇宙中獨一無二的。之所以如此，是因為他們對大數一點概念也沒有，對宇宙的大小也毫無所知。在之後的篇幅中，我們會進一步討論何謂可觀測宇宙（我們見得到的那部分宇宙），以及它的意涵。

既然已經說到這裡，讓我往後頭跳遠一些。舉例來說，像是10的81次方這種遠比10垓還要大的數字？據我所知，這個數字沒有名稱，它是可觀測宇宙中的原子總數。為何我們需要比這個數還要大的數字呢？到底你該如何去數？或者我們可以談一個很漂亮的整數，也就是古戈爾（googol，10的100次方）。千萬別把古戈爾（googol）和網路搜尋公司Google混淆在一起，雖然當初這家公司的名字，就是故意把googol變形拼成這樣的。

可觀測宇宙中，並沒有需要用古戈爾去計數的物體。這就只是一個很有趣的數字，你可以把它寫成10的100次方，如果你沒有上標可用，寫成10^100也行。話雖如此，在某些情況下，這種大數可能有用，不是用來計數，而是用來表示事情有多少種可能的變化。例如，西洋棋到底有多少種下法呢？在西洋棋局中，如果同一步棋重複出現3次；或者每位棋手都走了50步之後，士兵不曾移動或沒有棋子被吃掉；或者剩下的棋子太少，無法把對手將死；兩位棋手之中的任何一位，都可以宣告這是一盤和棋。如果我們規定棋手在上述的這些情況發生時必須宣告和棋，那西洋棋的可能下法就算得出來。戈特曾做過這種計算，發現可能的下法雖然少於10^(10^4.4)，但是比起1古戈爾，也就是10^(10^2)要多上不少。在此處，我們並沒有在計數，只是在為完成某件事的可能方式計量，而在這種情況下，數字可以非常龐大。

我可以再提一個更大的數。如果說1古戈爾是1的後頭接了100個0，那10的1古戈爾次方是什麼？這個數也有個名字，稱為古戈爾普勒克斯（googolplex），是1的後頭跟着1古戈爾個0。你能把這個數目寫出來嗎？辨不到吧！因為它擁有1古戈爾個0，而1古戈爾大於宇宙原子的總數，所以你只能把它寫成10googol或1010^100或10^(10^100)。如果你真的幹勁十足，或許可以試着在宇宙中的每個原子上寫下1019個0，不過你一定有更值得忙的事情。

我說這些，並不是要浪費你的時間。我知道有比1古戈爾普勒克斯還要大的數。貝肯斯坦推導了一個公式，讓我們能用來估計，一個和我們可觀測宇宙的質量與大小相當的體系，擁有的量子態之最大數量是多少。由於觀測會造成量子模糊效應，上述的量子態數量，就是像我們所在的這類可觀測宇宙的最大數量。這個數字是10^(10^124)，1後面的0的數量，是1古戈爾普勒克斯的1024倍。這10^(10^124)個宇宙，有些極為恐怖，裡頭到處都是黑洞的宇宙，有些則是和我們的宇宙幾乎完全相同，唯一的差異在於你鼻孔裡少一顆氧分子，而某位外星人的鼻孔裡多一顆氧分子而已。

所以，事實上，我們真的用得上一些極大的數字。我倒是想不出比古戈爾普勒克斯更大的數字有何用途，但數學家肯定用得著。有個數學定理裡頭有個很勁爆的數字10^(10^(10^34))，稱為斯奎斯數（Skewe’s number）。數學家能從遠遠超越物理現實的思索，獲得一些樂趣。