本周五是冬至，中國人一向視「冬大過年」，先祝各位讀者平安。上文提及的機率論，收到很多讀者詢問，為什麼擲公字不是隨機? 為什麼連續數字的機率都不是按公式計算的結果呢？
圖一及圖二，是工作人員協助下，連擲一千次公字的結果。圖一在150次至250次形成了下跌趨勢!之後由250次左右開始上升至680次左右，之後高位橫行至800次左右下跌。由250次開始出現升──橫行──跌，這便是一個生成元，而很多小的生成元，便合成一個大的生成元，最終形成了一次大的周期。這便是碎形理論對市場的基本論述。圖二由180次左右開始上升至300次左右見頂橫行，在500次左右見頂回落，同樣形成了生成元。兩者都是人手逐次擲公字的結果，而兩者所構成的圖象不同，正是隨機因子作怪。
「市場時而沉靜，時而狂野，而且狂野的程度不同，便有不同分布，故此，價格並不存在常態分布的關係，最重要的是按時間推移，市場根本不存在任何一種固有的分布形態，這也是說明簡單基本的回歸分析，雖在邏輯上正確，但仍未可成功捕捉市場走勢的原因所在。」
事前機率vs事後機率
早年美國有一本著作，為市場帶來不少迴響，這就是由Nate Silver所著的精準預測。書中提到貝氏定理Bayes’ theorem的應用。筆者查看相關文獻，竟然找到一些美國法院文件，有不少案件都對貝氏定理的推論有懷疑！其中一個爭議之處，便是貝氏本人從來都沒有發表過一篇科學文章。現時頻率機率論的學者，引用的貝氏定理主要是參考1763年12月23日由數學家普萊斯（Richard Price）在英國皇家學會宣讀一篇貝氏的論文，當時貝氏已離世四個月。普萊斯宣稱是貝氏的遺囑託付給他，文章題目為〈關於解決機率論的一個難題〉。亞當史密斯的國富論初稿，也是由普萊斯作為初審，而精算學的基礎理論也是由普萊斯的名著〈分紅給付〉一書中確立。
由這樣鼎鼎大名的人物發表的貝氏定理，自當舉世矚目。貝氏主要是處理條件機率問題，跟白努利一樣，想藉在無限多的數據中觀察一部分而得知整體出現的機率。前文已述白努利的處理方法，本文便介紹貝氏的處理方法。統計學大師、Nate Silver的老師Leonard Mlodinow在與物理學大師霍金合著的作品中，曾如此說明貝氏理論，假設現時在玩草地滾球，我們先把第一顆球滾出去，使它在草地上任何一點停止的機率都一樣。而就在不經觀察的盲測下，決定球的水平軸在何處停下來，而測試的工具便是第二顆球，只要多次滾動第二顆球，再記錄數據，第一顆球就是未知事件，而第二顆球就代表我們收集到的證據。如果第二顆球一直都在第一顆的右邊，我們便可假設第一顆球非常接近草地的左邊界。第一顆球的估計位置，被稱為事前機率，而用第二顆球的位置來修正第一顆球的位置，稱為事後機率。
貝氏定理在計算時其實蠻複雜的，主要是倚靠新的數據去修正結果，提供的樣本愈多，機率也隨之改變。定理指出，假如B已發生則A又發生的機率，並不等於假如A發生而B又同時發生的機率。90年代有一宗個案值得跟大家分享，按美國及德國的聯合調查，研究員請醫生評估40-50歲女性無乳癌但X光造影中顯示為陽性的、確實患乳癌的機率。研究員事前已知當中有7%女性並無患上乳癌，他們告知這批醫生，所有40-50歲婦女平均患上乳癌的機率是0.8%，而X光造影顯示為陽性之後，假陰性的機率是10%。但德國的醫生有三分之一估計當中有90%的婦女患上乳癌，而平均值是70%，而美國醫生有95%估計這批婦女中有75%患上乳癌。
貝氏定理，在實際運用上頗有後見之明，在美國總統大選中， Nate Silver便計出希拉莉預期會得到七成的選票，並在選舉人票中輕微多於特朗普可以入主白官，結果當然出錯了。去到這個關口，統計學中的預測學，跟物理學的量子模型漸漸分道揚鑣，下篇文章筆者會跟大家分享兩者後續的發展，以及如何在股票市場中大放異彩。
