前文談及奧斯本（Matthew Maury Osborne）發現的數列，連升後續升的機會略多於下跌，跟計算上50%的出現機率不同。事實勝於雄辯，計算上的結果跟大量數據得出來的實驗值不同，看似隨機的事情，卻暗藏規律。然而，這情況並不以一個固定比率重現，碎形理論大師，同時是效率市場說的創始人費馬（Eugene Fama）的老師本華‧曼德博 （Benoit Mandelbrot）便以碎形理論來解釋這些非線形的現象。
要簡單介紹碎形理論並不容易，我們不妨由簡單的科學定律入手。大家可曾發現，在圖書館供市民借閱的書籍，以1開頭的書頁比2開頭的書頁殘舊，餘此類推，另100頁的書頁比90頁的書頁殘破，不論書本被借閱的次數多寡，都會出現這種情況。這便是班佛定律（Benford’s Law），指在一堆數據中，數字出現的頻率並不一樣，1開頭的數約佔30%，2開頭的約佔18%，最後9開頭的約佔5%。一切自然產生的數據均會依從班佛定律，即使是股價的收市位，長年期累積大量數據，都會依從這定律，惟有人為操作的數據卻不一樣。
最經典的例子，是一位叫凱文‧勞倫斯的年輕企業家，以龐氏騙局手段集資，把投資者的錢，在銀行間轉來轉去，進行清洗黑錢，表面上卻是生意蒸蒸日上。調查人員搜集大量數據與班佛定律來比對，發現匯款的數字非自然產生，最後便啟動司法調查，勞倫斯在2003年被判處20年刑期。
如果數字真的是隨機出現，便不可能符合班佛定律。在已知有限的數據中，當數據量夠多，仍可按機率法則處理，例如擲公字或是擲骰子，但對於股市這種無窮無盡的數列，便不能用傳統的機率計算來取得解答。
極大的成就
雅各‧白努利（Jakob Bernoulli）在牛頓（Newton）及萊布尼茲（Leibniz）的微積分研究基礎上，得出極大量數值，並進行重複觀察/觀察後發現重複的情況（註：是哪一個意思呢？）。例如：擲公字，只擲10次，可能你會得到7次正面，3次反面，甚至連續10次正面都是有可能發生的，我們不能單以10次擲公字就斷然結果是非隨機的。筆者便曾以擲公字1,000次的結果，繪製成一張走勢圖，很多學生看到，都以為是某隻個股的圖表。即使筆者擲了1,000次，正面的結果大約是54%，而反面的結果是46%，期間還出現了多次連續5次正面及連續5次反面的結果，在機率而言都應是很罕見的，但在1,000次的投擲結果中，卻有13次連續出現5次同樣結果的記錄！
白努利花了20年時間去處理量化極大量數據的問題，今天我們稱為「大數法則」 。現時假設罐中有100顆彈珠，當中有60顆是白色，40顆是黃色，如果你只抽出其中50顆，出現58-62%的機率有多少？你能否抽出50顆便可以知道罐中的白黃比率是多少？大數法則會告訴你，當你抽出的數量「夠多」 ，你就可以接近確定那個答案。抽出數量愈多，得到的答案便愈接近準確，但只有抽出所有數量，最終才可得到100%肯定的答案！這既是近代演算法的理論基礎，事實上也是大數據的限制──就是永遠都不準確！
現實生活中，我們不可能檢驗數據幾百幾千次，結果往往把幾次的人生經驗，牢牢記在腦中，成了我們直覺判斷的依據，這種稱為賭徒謬誤。例如恆指連續3次，均是120個月出現一次見頂，便相信2017年10月會出現股災，而事實上，自1977年起，恆指便沒有出現股災了。又或者是近來沒有發生，就應該很快便會發生，這就像2009年便聽到道指快將出現調整，牛市才更健康一樣，結果是，一年又一年，盼了三年又三年。好事連連不代表將會遇到惡運，霉運蓋頂也不見得將會物極必反。在無盡的數據中，總有機會出現連續100次都擲到正面的，如果你剛好在其中，數到第10次，便期望下一次將會擲出反面，這種只是賭徒謬誤而已。香港坊間有一位名咀，在2017年1月便認為快將跌市，結果一年過去都未曾言中，這不正是說明什麼叫「不學無術」嗎？
