有些學生喜歡數學是因為：「數學考試最公道，因為對錯分明，評分標準乾淨俐落，最好一點是不用寫很多文字。」看看這填充題：“5 x 0.5 = ＿＿＿” （問題1），不用解釋，只要簡單填上2.5就對，可以拿滿分了。
不過，如果你填上0.25 就肯定錯了，得分是零。老師可不會顧念你還背得出乘數表的五五二十五，給你打一半的分數喔。這可是有人快樂有人愁了。而且，假如數學試題都是這樣，而數學學習又以這樣的試題為目標，豈不是在訓練機械人的思考方法？
是機械還是人的思考
那麼，把上述問題1改為文字題：「你有5塊曲奇餅，把一半給了我。你還有多少塊餅呢？」（問題2）， 加入處境應用的意義，可算是一條給人做的問題吧。這時學生答：
“5 x 0.5 = 0.25”，雖然最後的數字答案還是錯了，但他可是有經過思考而用數式，至少“5 x 0.5”表達「平分一半」的意思，這正是錯誤中的正確思考。
可惜，即使只要學生列式計算，也有不少學生會錯用了：“5 x 2”，“0.5 x 2”的數式（註1），還是看不出他們由閲讀理解到寫出數式之間，出了什麼岔子。有老師試過在課堂提出這個分餅問題，而且在要求列式計算前，先讓學生畫出分餅的做法，看看學生在處理文字題時，關卡在那裏。
結果，全部學生都能夠成功表達他們對問題的理解（例如圖1A和2），而且口頭也說得出答案是「兩塊半餅」。
學生畫出不同的分餅法：
當時就是畫出圖1A的學生，寫了對的數式而算出錯的答案“0.5 x 5 = 0.25”。因為老師不是為了試卷評分，而是更想知道學生怎樣算出0.25，所以老師沒有即時指出0.25是錯的，反而請學生說明一下為什麼是0.25。於是學生便充滿自信地，指着圖1A中4塊切走了一半的餅，再在下面加上標記，並寫下“0.5 x 4 = 0.20”，成為圖1B，然後指着最右邊半塊餅説：「這就是那0.05塊餅。所以合起來 0.20 ＋ 0.05就是0.25了。」學生理直氣壯地解說了怎樣得出這個他從來不認為是錯的答案。
這次，老師終於明白了這名學生，為什麼他的小數答案總是出錯了。其實學生不是不受教，只是平日老師教了一套小數的記數方法，而學生不明白，所以不願意死跟，於是用自己的角度去思考，把老師的一套自行消化，做出另一套小數記數法。
經過認真思考的改正
可以向老師詳細講出自己想法的學生是幸運的，他們有機會為自己的想法辯解，在辯解中繼續用思考去學習，不用硬吞一些不明所以的知識和道理。老師耐性的詢問和聆聽，往往鼓勵到學生愈戰愈勇。
同一群學生，到了「畫出想法來」的第6節課，老師提出這樣的問題：「一班40位同學，其中3／8的人得獎，問有幾多位同學獲獎呢？」同樣讓他們先畫圖，跟同學互相解說，再列式計算，最後選派兩位學生，向全班同學演示不同的處理方法，讓同學談論不同方法的異同。
這次，我留意到有一位學生Mike的畫作和數式（圖3）。單看圖和數式是沒有錯的，但是檢查一下題目原意是40人，當學生把全班人數分成8格，然後隨意地把每格當成代表10人，總數便變成80人了。當時其實不少學生都有犯上這個大意的錯誤。
於是我指着Mike的畫作問：「你這裏有多少人呢？」他説80人。跟着我指住他之前寫下題目時的40，問他：「你怎樣比較這兩個數字呢？ 」想了一會兒，他看出了40是80的一半，所以他說圖中的每一格也應該是10的一半，即是5人而不是10人。我看他已找出線索，就轉去看看其他學生的做法。
稍後，老師邀請個別同學站出來展示和解説自己的做法時，Mike熱切地舉手爭取得到出來演示。我還以為他會像一般學生的做法，塗去原有錯誤的部分，以便只把成功的一面展示給人。
但他竟然毫不掩飾自己錯了的部分（即圖3），之後加上（圖4）解說他怎樣從錯誤中出正確解答的思考過程（註2）。由於Mike結結巴巴的解說，險些兒令老師和同學着眼於（圖3）錯誤的部分，再跳去（圖4）的數式，聽不懂他是怎樣轉變過來呢？
有思考地錯，認真的學習
「聽一次就明白，練習多幾次就記得。」 這是對學生不切實際的期待。學生不是按程式操作的機械人。無論老師的講解多有條理，多清楚明確，學生也不會單一地按老師指定的角度來接收。有時學生出錯只不過是他們用了另外的角度去思考，這麽主動積極的學習，絕對要多加鼓勵。
在數學課中，其實列式計算應該已到了展示學習成果的一步，之前要經過多少思考和抉擇，也即是要經過多少出錯的關卡，才能走到這一步。「畫出想法來」是先給學生打開一個投入學習的闊門，營造一個活潑貼地的學習氛圍，讓學生放膽嘗試，用自己擅長的工具去展示自己的思考的角度。再加上讓學生先用日常語言向同學解説自己的想法，不用一下子就跳去列式計算。即使到了列式計算，仍然鼓勵學生們互相解説自己選擇的數式和計算方法。遇到不同的想法就互相檢查、比較、辯解，這樣，老師不用做批改作業的判官，不只看數式和數字答案，不會見到不符標準答案就打一個交叉；跟着，也不會造成，即使學生不明緣由，也要抄寫一次標準答案作為改正這種反教育的常規操作。
「畫出想法來」的數學課，容許學生犯錯，老師欣賞他們的錯是經過主動思考的另類想法。這樣的課節比較花時間和心力。但是保留以至增長了學生主動學習的動力，這樣不是比起重覆走過聽課、看例題、做練習、交習作、做改正的過程，更符合少年人的本性嗎？而且還學到德育，因為，這一回竟然不是按權威來災對錯，而是學生從被尊重中學會尊重別人，也就比較聽得入別人的不同説法，願意再思考來調整自己的想法。
註1：文中的例子來自八鄉中心學校，老師們用心設計和進行了7次「畫出想法來」的數學課節，讓學生學習表達和聆聽的溝通能力，給學生和老師帶來寶貴而有效的學與教經歷。
註2：八鄉中心學校的學生，多來自少數族裔家庭，包括尼泊爾、巴基斯坦、印尼等，校內以英語作溝通語言。
畫出你的數學來之四
本系列文章：
