跟不是教師的朋友談及一條很簡單的小學數學文字題：「你有五塊曲奇餅，把一半給了我。你還有多少塊餅呢？你可以畫出分餅的做法嗎？」朋友聽了覺得很奇怪，她說：「不就是一種方法嗎？」按她的構想，大概就是（圖一）的做法，而且她還自動寫出數式和把計算完成，給出小數和分數的答案。
後來，遇上八鄉中心小學的鄧老師和曾老師，他們有心探究學生在處理文字題時，怎樣能夠成功地從閱讀理解文字到寫出數式。假如失敗，又是在哪一個環節出現阻滯，和有什麼障礙。所以，他們安排了八節課（註1），用這一條文字題開始，請小五和小六的同學，在寫出數式和計算之前，先畫出他們的想法，下一步才寫出數式。
由於在數學課裏，要學生「畫出想法來」是一個新嘗試，事前大家多少有點擔心，不知道學生會畫出什麼來，甚至可能什麼也不畫。
沒有框框的思考
終於，上課了。
首先，鄧老師把問題變得生活化，像說故事一樣，跟學生說：「如果你有五塊曲奇餅，把一半給了曾老師。你還有多少塊餅呢？」跟着，他請學生不要寫出數式，不用計算，只要畫出他們的分餅方法。結果，在兩分鐘內，所有學生都畫好了。這時，老師才讓學生寫出答案。隨後，就請學生向鄰座同學展示圖畫，按圖講出自己的想法。
結果當老師看到不少學生畫出像下列（圖二）和（圖三）的分餅方法時，難免感到有點意外。
正如鄧老師說過：「老師是會有盲點的。」所以，大家在共同備課時，可能有點期待學生能夠畫出像（圖一）的分餅法，因為這個方法可以直接看出答案，也會導向除法運算，甚至因為是跟學生最近學習的分數運算有關。幸好，老師早已準備好不預設思考框框，判定對錯好壞，要讓學生自由發揮，再按每一位學生的原創思路去了解他們的想法，所以學生是完全可以自由發揮的。
拋開「教學進度」這個緊箍咒
課後，老師再細看兩位學生畫出的（圖二）和（圖三），再加上他們之後寫下的數式和計算（見圖四、五），由於他們把每塊餅都切割做兩份，所以他們把兩件切成半塊的餅併合成一塊，於是就用了加減法而不是（圖一）的除法。也有用乘法的見（圖六），同學們可說是施展渾身解數，自信滿滿地畫了自己的想法出來。
本來，設計課節時，打算以分數乘法計算的文字題入手，這樣（圖六）可算是最配合原本編定的教學進度。但是，結果在老師的鼓勵下，學生盡情展露了他們原創的解難能力，偏偏不用乘法，卻用上了加、減或除法。回想自己的課堂教學，假如已經設定了教學目標，卻遇到學生這些不拘一格的答案，我也可能會把學生這些想法輕輕帶過。最多就只會請同學展示圖一、四、五和六之後，集中講解（圖六）的做法，好能夠及時順利達到課程進度的要求。
這一次，因為老師想瞭解學生從文字轉化到數式的思考過程，於是把課堂從教學進度的束縳中釋放出來，務求營造一個開放的環境， 鼓勵學生大膽展露他們拆解文字題時，在以下三方面的想法：
- 問題的內容是什麼；
- 怎樣去解決問題；
- 會用上哪些數學語言。
而圖畫是語言文字以外，普遍小學生都會喜歡的表達工具，所以，便請他們畫出想法來。
陪着學生從已有的向前走
為了讓學生有足夠時間和空間去思考，表達和討論，短期的進度肯定會慢了，但長遠來說是更有效更有意義的數學學習。因為老師願意聆聽學生的想法，也鼓勵同學之間互相分享聆聽，不單單邀請表達得較成熟的學生在全班面前表演，而是人人有份。遇到不成熟的部份，大家一起去瞭解和調校。這樣比起一面倒側重講解標準的答題法，而是從學生本來的想法入手，學生才會更投入去思考數學，甚至成為興趣。
以分餅為例，其實當時所有學生都能夠說出分餅的答案：「兩塊半。」但看看圖七、八和九，他們的圖畫或文字答案都能夠表達「兩塊半餅」的意思，在數式或計算上卻見思考混亂而多誤差。假如把重點放眼在學生的錯處，那麼讓學生畫出想法來的課節，就只是讓學生和老師再嚐失敗的滋味，失去了想讓學生學得更好的原意了。那麼可以怎樣跟進呢？
從圖七至九所見，學生主要未能掌握好除法或乘法的意義，以至出現了奇怪的運算。這些問題，如果先欣賞和肯定他們的繪圖和答案，然後細心聆聽他們自成一家的運算法則，一方面老師可以即時跟他們傾談，幫忙梳理好學生的想法。另一方面，老師更可以從傾談中總結經驗，開發以後怎樣可以把分數運算教得更好更有效的策略。其中最可貴的是，可以加強了學生表達自我的自信，更加強師生之間的互信（註2）。
至於在教學法來說，畫圖方法有好幾種（註3），每一種從分數的意義到運算，都有幫助。這裏介紹的第一課可算是熱身。至於詳細關於怎樣用畫圖來梳理和推進學生的想法，請待後續。
註1：學校特意安排課餘時間，並組合了約30位學生，其中小五小六各佔一半，由鄧老師和曾老師進行協作教學。
註2：力推正向教育的八鄉中心學校，透過課程和活動，提供很多機會讓學生學習表達和聆聽的溝通能力，即使在數學課也如是。就像在合適的土壤上栽種，老師用心設計和推行「畫出想法來」的課節，給老師和學生都帶來寶貴的學習經歷。
註3：有興趣初步了解畫圖法可看：https://slideplayer.com/slide/13287999/。除了老師值得參考，家長也可用於幫忙孩子溫習。甚至也可以用來梳理自已一些混沌的想法。
畫出你的數學來之二
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